Kas Yra Kvadratinės Lygtys?

{h1}

Kvadratinės lygtys yra pagrindinės algebra ir yra parabolių, sviedinių, palydovinių antenų ir aukso santykis.

Matematikoje kvadratas yra problemos rūšis, nagrinėjanti kintamąjį, padaugintą iš savęs, - operaciją, vadinamą kvadratu. Ši kalba išplaukia iš kvadrato ploto, kurio kraštinės ilgis padaugintas iš savęs. Žodis „kvadratinis“ yra kilęs iš keturkampis, lotyniškas žodis square.

Kvadratinės lygtys apibūdina daugybę realaus pasaulio reiškinių, pavyzdžiui, kur nusileis raketinis laivas, kiek reikia sumokėti už gaminį ar kiek laiko žmogui prireiks eiliuoti aukštyn ir žemyn upe. Dėl daugybės pritaikymų kvadratika turi didelę istorinę reikšmę ir buvo pagrindas algebros istorijoje.

Vandens srautai iš fontano sudaro parabolę.

Vandens srautai iš fontano sudaro parabolę.

Kreditas: Matej Kastelic Shutterstock

Parabolė

Kvadratikos matematika iš esmės susijusi su U formos kreive, vadinama parabole. Turbūt labiausiai žinomas pavyzdys yra vandens srovė, kylanti iš geriamojo fontano. Yra daugybė kitų pavyzdžių, pavyzdžiui, palydovinės antenos skerspjūvis arba kabeliai ant pakabos tilto.

Parabolas buvo reikšminga forma daugeliui senovės Graikijos matematikų, tokių kaip Aleksandrijos Euklidas (~ 300 m. Pr. Kr.), Sirakūzų Archimedas (287–212 m. Pr. Kr.), Apolonijus iš Pergos (262–190 m. Pr. Kr.) Ir Aleksandro Pappusas (290 m. Po Kr.). -350). Šie mokslininkai pažymėjo keletą matematinių savybių, būdingų parabolėms:

1. Parabolas yra taškų, nutolusių nuo taško, rinkinys (a sutelkti dėmesį) ir linija (a directrix). Tinkamai įvardytas dėmesys yra svarbus daugelyje šiuolaikinių inžinerinių programų, nes tai yra parabolinės lėkštės taškas ten, kur atsispindi gaunamos bangos, ar tai būtų radijo bangos (kaip palydovinėje antenoje), šviesa (kaip koncentruotame saulės kolektoriuje). arba garsas (kaip ir paraboliniame mikrofone).

Kiekvienas parabolės taškas yra vienodai nutolęs nuo tam tikro taško ir linijos. Įeinančios bangos atspindi visą dėmesį.

Kiekvienas parabolės taškas yra vienodai nutolęs nuo tam tikro taško ir linijos. Įeinančios bangos atspindi visą dėmesį.

Kreditas: Robertas Coolmanas

2. Parabolė taip pat susidaro pjaunant kūgį lygiagrečiai kūgio šonų nuolydžiui. Dėl šios priežasties parabolės yra matematinių kreivių rinkinyje, vadinamame kūginiai pjūviai. Praėjus beveik 2000 metų po šio atradimo, atlikdamas tyrimus dėl parabolinių „deginančių veidrodžių“, Leonardo da Vinci (A.D. 1452-1519) suprato šią savybę ir sukūrė kompasą, galintį nupiešti parabolę.

Kūgį kertanti plokštuma sudaro parabolę.

Kūgį kertanti plokštuma sudaro parabolę.

Kreditas: Robertas Coolmanas

3. Parabolės aukščio pokyčiai yra proporcingi to parabolės pločio kvadrato pokyčiams. Pvz., Jei parabolė yra vieno vieneto aukščio, kur ji yra vieno vieneto pločio, ji bus devynių (trijų kvadratų) vienetų aukščio, kur ji yra trijų vienetų pločio. Iš šios savybės Apollonijus išvedė žodį „parabola“ parabolas, graikų kalbos žodis „taikymas“ ta prasme, kad plotis yra „pritaikomas“ pačiam (padaugintam). Tai yra savybė, susiejanti parabolės formą su matematiniu kvadrato pavidalu.

Nors parabolai yra visur paplitę, svarbu atkreipti dėmesį, kad jie skiriasi nuo kitų U formos kreivių, tokių kaip kabanti grandinė (kontaktinis tinklas), vaiko kelias ant sūpynių (apskrito lanko), lanko iš vertikalus žibintuvėlis, šviečiantis ant sienos (hiperbolė) arba spyruoklės šoninės dalies kraštas (sinusoidas). Šios kitos kreivės neturi anksčiau paminėtų parabolių savybių.

Jei parabolas yra vieno vieneto aukščio ten, kur jo plotis yra vienas, jis bus devynių (trijų kvadratų) vienetų aukščio, jei jo plotis yra trys. Šis parabolas buvo pasuktas į dešinę, todėl jis tilps į puslapį.

Jei parabolas yra vieno vieneto aukščio ten, kur jo plotis yra vienas, jis bus devynių (trijų kvadratų) vienetų aukščio, jei jo plotis yra trys. Šis parabolas buvo pasuktas į dešinę, todėl jis tilps į puslapį.

Kreditas: Robertas Coolmanas

Sviedinio judesys

Ryšys tarp parabolių ir kvadratikos matematikos turėjo didelę reikšmę XVI a. A. D., kai Europos renesanso mokslininkai pastebėjo, kad sviediniai, tokie kaip patrankos ir skiediniai, keliauja parabolinėmis trajektorijomis. Daugybė žymių to laikmečio mokslininkų, įskaitant Leonardo da Vinci ir Galileo Galilei (1564-1642), tyrė sviedinio judesį. Pasak Niujorko miesto universiteto (CUNY) istorijos profesoriaus Josepho W. Daubeno, nes Renesanso menininkai buvo apsėsti tikslaus tikrovės vaizdavimo mene, „Galileo“ tapo panašiai apsėstas tiksliai pavaizduoti tikrovę naudojant matematika. 1638 m. „Galileo“ paskelbė pirmąjį įrodymą, kad vienodas Žemės gravitacijos pagreitis sukels sviedinių judėjimą parabolinėmis trajektorijomis. Tai, kad matematika gali būti naudojama judesiams apibūdinti, buvo raktas į mokslinės revoliucijos pažangą.

Kvadratikos grafikai

Maždaug tuo pat metu kaip „Galileo“, prancūzų filosofas ir matematikas René Descartes (1596–1650) išleido „La Géométrie“ (1637), kuriame aprašė algebrinių lygčių grafiko sudarymo metodą srityje, vadinamoje analitine geometrija. Jo metodų variacijos vis dar naudojamos ir šiandien. Kaip parodyta žemiau, kvadratinės lygties grafikas yra parabolė.

Kvadratinės lygties grafikas sudaro parabolę. Grafikos technika, tokia, kokia yra praktikuojama šiandien, remiasi René Descartes'o darbu.

Kvadratinės lygties grafikas sudaro parabolę. Grafikos technika, tokia, kokia yra praktikuojama šiandien, remiasi René Descartes'o darbu.

Kreditas: Robertas Coolmanas

Senovės kvadratas: auksinis santykis

Norėdami suprasti kvadratinio sprendimo metodą, kurį šiandien naudoja matematikai, mokslininkai ir inžinieriai, panagrinėkime senovės matematikos problemą: aukso santykį. Maža to, Meino universiteto matematikos profesorius George'as Markowsky (1992) „Klaidingas požiūris į auksinį santykį“ (1992) pažymėjo, kad aukso santykio istorinė reikšmė ir estetinis patrauklumas dažnai yra pervertinami, nors tiesa, kad santykis atrodo dažnai skaičiaus teorijoje (lygiagrečiai su & Fibonacci seka), geometrija (tokia kaip ikosaedras) ir biologija (pavyzdžiui, kampas tarp augalo lapų).

Taip nurodomas vienas aukso santykio nustatymo metodas:

Raskite stačiakampį, kurio ilgis ir plotis yra toks, kad, nupjovus kvadratą nuo vieno stačiakampio galo, likusio laužo stačiakampio forma ar santykis bus toks pats kaip originalo stačiakampio (bet pasuktas stačiu kampu).

Nors senovės graikai išsprendė šią problemą naudodamiesi geometrija, mes naudosime algebrą taip, kaip mokoma šiandien.

Naudojant algebrą aukso santykio vertei nustatyti.

Naudojant algebrą aukso santykio vertei nustatyti.

Kreditas: Robertas Coolmanas

Norėdami nustatyti, koks ilgis ir plotis sudarys auksinį santykį, suteikiame trumpąją pusę 1 ilgio, o ilgąją - x ilgį. Kadangi kraštinių santykis yra apibrėžiamas kaip ilgoji dalis, padalyta iš trumposios pusės, šio stačiakampio kraštinių santykis yra x / 1 arba tiesiog x. Jei nupjaustėme šio stačiakampio kvadratą, likusio laužo ilgis yra 1 ir trumpo šono x - 1. Taigi kraštinių santykis yra 1 / (x - 1). Suprasdami, kad viso stačiakampio ir mažesnio laužo stačiakampio kraštinių santykis turėtų būti vienodas, mūsų lygtis yra x = 1 / (x - 1).

Kvadratinė formulė

Štai kaip studentams nurodoma išspręsti šią lygtį šiandien. Pradėkite nuo lygties:

x = 1 / (x - 1)

Padauginkite kiekvieną lygties pusę išraiška x - 1:

x · (x - 1) = 1

Paskirstykite x per išraišką x - 1:

x · x - x · 1 = 1

Kintamasis x, padaugintas iš savęs, užrašomas kaip x². Šis lyginimas daro lygtį kvadratine:

x² - x = 1

Dabar mes atimame 1 iš kiekvienos lygties pusės, kad gautume vadinamąją standartinę kvadratinės lygties formą:

x² - x - 1 = 0

Lygiaverčiai tai gali būti parašyta taip:

(1) · x² + (-1) · x + (-1) = 0

Palyginus su lygtimi a · x² + b · x + c = 0, gaunamos reikšmės: a = 1, b = -1 ir c = -1. Šios vertės kvadratinėje formulėje naudojamos kaip

Moderni simbolinė kvadratinės lygties forma.

Moderni simbolinė kvadratinės lygties forma.

Kreditas: Robertas Coolmanas

Simbolis "±" reiškia "plius arba minus". Dėl šios priežasties kvadratinė formulė visada pateikia du sprendimus. Pakeiskite bet kurią iš šių verčių į lygtį x = 1 / (x - 1), kad patikrintumėte, ar tai lemia, kad abi lygties pusės yra vienodos. Tai reiškia, kad metodas veikia. Atkreipkite dėmesį, kad šios vertės taip pat yra tos vietos, kuriose standartinės formos lygties grafikas (y = x² - x - 1) kerta X ašį, kur y = 0 (žr. Grafiką aukščiau). Tokiu atveju teigiama vertė turi didesnę fizinę reikšmę, nes stačiakampis neturėtų būti neigiamas plotis.

Senovės babiloniečių kilmė

Norėdami pasiūlyti įžvalgą, iš kur kyla kvadratinė formulė ir kodėl ji veikia, panagrinėkime procedūrą, naudotą senovinėje Babilono molio tabletėje nuo maždaug 1800 m. (Planšetinis kompiuteris BM 13901, Britanijos muziejus). Pasak Jacques'o Sesiano, „Įvadas į algebros istoriją“ (AMS, 2009), pirmoji šios planšetės problema apytiksliai reiškia:

Pridėjau kvadrato plotą ir kraštinę, kad gautumėte ¾. Kokia aikštės pusė?

Problema užrašyta šiuolaikine notacija:

x² + x = ¾

Toliau pasakojama apie babiloniečių ir arabų metodus, kuriuos aprašė Sesiano. Pirmiausia išversime veiksmus, kuriuos atliko babiloniečiai, bet taip pat išversime juos į simbolinę kalbą, kurią šiandien naudojame algebroje. Visiškai simbolinė kalba pirmą kartą Europoje atsirado 17 amžiuje. Kadangi babiloniečiai nežinojo apie neigiamus skaičius, lygtį reikia parašyti forma x2 + px = q, kur p = 1 ir q = ¾. Palyginus tai su šiuolaikinės standartinės formos kirviu2& + bx + c = 0, tai rodo, kad p = b / a ir q = -c / a.

Senovės babiloniečių tam tikros rūšies kvadratūros sprendimo procedūra. Dešinėje pusėje pateiktas vertimas į šiuolaikinę simbolinę notą.

Senovės babiloniečių tam tikros rūšies kvadratūros sprendimo procedūra. Dešinėje pusėje pateiktas vertimas į šiuolaikinę simbolinę notą.

Kreditas: Robertas Coolmanas

Dabar išsiaiškinkime ir įrodykime, kad procedūra yra teisinga naudojant geometrinius metodus, kaip tai padarė arabų matematikai devintajame amžiuje AD. Toliau pateiktas įrodymo variantas, kuris pasirodė persų matematiko Al-Khwārizmī publikacijoje „Kompensuojanti knyga apie skaičiavimą atliekant ir balansuojant“. 820 m. AD. Nors babiloniečiai savo procedūrinius metodus beveik neabejotinai išvedė iš geometrijos, nei rašytiniai išvestiniai įrašai, nei teisingumo įrodymai nepasirodė iki islamo aukso amžiaus, laikotarpio nuo septintojo amžiaus vidurio iki XIII amžiaus vidurio, kai Musulmonai valdė imperiją, kuri driekėsi nuo Vidurinės Azijos iki Šiaurės Afrikos ir Iberijos.

Geometrinė demonstracija, kodėl veikia senovės Babilono procedūra. Šio įrodymo variantas pirmą kartą buvo užfiksuotas devintajame amžiuje A. D. Arabijoje, o visiškai simbolinė kalba pirmą kartą pasirodė XVII amžiaus A. D. Europoje.

Geometrinė demonstracija, kodėl veikia senovės Babilono procedūra. Šio įrodymo variantas pirmą kartą buvo užfiksuotas devintajame amžiuje A. D. Arabijoje, o visiškai simbolinė kalba pirmą kartą pasirodė XVII amžiaus A. D. Europoje.

Kreditas: Robertas Coolmanas

Jei „prijungiame“ p = b / a ir q = -c / a, formulė iš tiesų supaprastėja iki šiuolaikinės kvadratinės lygties formos, kaip ji mokoma šiandien.

Amžiuje Afro-Eurazijoje buvo naudojamos įvairios kvadratinės formulės formos. Procedūrines versijas babiloniečiai ir egiptiečiai naudojo maždaug XIX amžiaus B.C., chaldėjai septintajame amžiuje C.C., graikai IV-ajame amžiuje B.C. ir indėnai penktajame mūsų eros amžiuje arabai sukūrė retorines ir sinchronizuotas formas devintajame amžiuje, o europiečiai juos sinchronizavo ir simbolines formas sukūrė 11 amžiuje po mūsų eros. Kiekvienos civilizacijos naudojami metodai tobulėjo, nes buvo sužinota daugiau apie neigiamą, neracionalūs, įsivaizduojami ir sudėtingi skaičiai.

Papildomi resursai

  • Drexelio universitete yra linksmas internetinis puslapis, iliustruojantis grafikų istoriją.
  • Purplemath.com, matematikos pamokų svetainė, paaiškina kūgius ir paraboles.
  • Internetinis matematikos šaltinis „MathWorld“ aptaria kvadratines lygtis.


Vaizdo Papildas: Kvadratinės lygtys. Pilnoji kvadratinė lygtis..




Tyrimas


Kaip Veikia Bangų Baseinai
Kaip Veikia Bangų Baseinai

Kaip Nasa Visam Laikui Pakeitė Sauskelnes?
Kaip Nasa Visam Laikui Pakeitė Sauskelnes?

Mokslas Naujienos


Dinozaurų Amžiaus Fosilijoje Vis Dar Yra 130 Milijonų Metų Amžiaus Baltymų
Dinozaurų Amžiaus Fosilijoje Vis Dar Yra 130 Milijonų Metų Amžiaus Baltymų

„Gyvas Sniegas“ Žiogų Antklodžių Las Vegase, Matomas Radare
„Gyvas Sniegas“ Žiogų Antklodžių Las Vegase, Matomas Radare

Koks Tas Triukšmas? 11 Keistų Ir Paslaptingų Garsų Žemėje Ir Už Jos Ribų
Koks Tas Triukšmas? 11 Keistų Ir Paslaptingų Garsų Žemėje Ir Už Jos Ribų

Nepažįstami Žmonės Autobuse: Kodėl Kolegos Keliautojai Vengia Sąveikos
Nepažįstami Žmonės Autobuse: Kodėl Kolegos Keliautojai Vengia Sąveikos

Ar Esate „Super Technikos Priėmėjas“? Arba „Vyresnio Amžiaus Žmonių, Kuriems Netaikoma Technika“?
Ar Esate „Super Technikos Priėmėjas“? Arba „Vyresnio Amžiaus Žmonių, Kuriems Netaikoma Technika“?


LT.WordsSideKick.com
Visos Teisės Saugomos!
Dauginti Jokių Medžiagų Leidžiama Tik Prostanovkoy Aktyvią Nuorodą Į Svetainę LT.WordsSideKick.com

© 2005–2020 LT.WordsSideKick.com