Kaip Veikia Fraktalai

{h1}

Fraktalai egzistavo amžinai, tačiau buvo apibrėžti tik paskutiniame xx amžiaus ketvirtyje. Ar galite apvynioti savo smegenis, kaip veikia fraktalai?

Fraktalai yra paradoksas. Nuostabiai paprastas, tačiau be galo sudėtingas. Nauja, bet senesnė už purvą. Kas yra fraktalai? Iš kur jie atsirado? Kodėl man turėtų rūpėti?

Netradicinis XX amžiaus matematikas Benoit Mandelbrot iš lotyniško žodžio sukūrė fraktalo terminą fraktas (reiškia netaisyklingą ar suskaidytą) 1975 m. Šios netaisyklingos ir suskaidytos formos yra aplink mus. Iš esmės fraktalai yra vizuali pasikartojančio modelio ar formulės išraiška, kuri prasideda paprastai ir tampa vis sudėtingesnė.

Vienas iš ankstyviausių fraktalų pritaikymų atsirado dar gerokai anksčiau, net net nevartojant šio termino. Lewisas Fry Richardsonas buvo anglų matematikas, XX amžiaus pradžioje tyręs Anglijos pakrantės ilgį. Jis teigė, kad kranto linijos ilgis priklauso nuo matavimo priemonės ilgio. Matuokite naudodami kriterijų, gausite vieną skaičių, bet išmatuokite detalesniu pėdos ilgio liniuote, kuriame daugiau atsižvelgiama į pakrantės nelygumus, o jūs gaunate didesnį skaičių ir pan.

Atlikite tai iki logiškos išvados ir jūs užbaigsite be galo ilgą pakrantę, kurioje yra baigtinė erdvė - tą patį paradoksą iškėlė Helge von Koch „Koch Snowflake“. Šis fraktalas apima trikampio paėmimą ir kiekvieno segmento trečdalio pavertimą trikampiu guoliu taip, kad fraktalas būtų simetriškas. Kiekvienas guzas, be abejo, yra ilgesnis už pradinį segmentą, tačiau jame vis dar yra ribotos vietos. Keistas, bet užuot susiliejęs su konkrečiu skaičiumi, perimetras juda link begalybės. Mandelbrotas tai pamatė ir pasinaudojo šiuo pavyzdžiu, norėdamas ištirti fraktalinio matmens sąvoką, įrodydamas, kad pakrantės matavimas yra apytikslis pratimas [šaltinis: NOVA].

Jei fraktalai iš tikrųjų buvo visą šį laiką, kodėl apie juos girdėjome tik maždaug per pastaruosius 30 metų?

Fraktalo terminija

Fraktalas iš pradžių gali atrodyti atsitiktinis ir nesusijęs, tačiau atidžiau apžiūrėjus paaiškėja pasikartojanti struktūra.

Fraktalas iš pradžių gali atrodyti atsitiktinis ir nesusijęs, tačiau atidžiau apžiūrėjus paaiškėja pasikartojanti struktūra.

Prieš gilindamiesi į detales, turime apžvelgti pagrindinius terminus, kurie padės suprasti unikalias fraktalo savybes.

Visi fraktalai parodo, kas vadinama savęs panašumas. Tai reiškia, kad pažvelgę ​​iš arčiau į fraktalo detales, galite pamatyti visumos kopiją. Papartis yra klasikinis pavyzdys. Pažvelkite į visą šerdį. Matote šakas, išeinančias iš pagrindinio stiebo? Visos šios šakos atrodo panašios į visą šerdį. Jie yra panašūs į originalą, tik mažesniu mastu.

Šie panašūs modeliai yra paprastos lygties arba matematinio teiginio rezultatas. Fraktalai sukuriami pakartojant šią lygtį per grįžtamojo ryšio kilpą procese, vadinamame iteracija, kur vienos iteracijos rezultatai sudaro kitos įvesties vertę. Pvz., Jei pažvelgsite į „nautilus“ apvalkalo vidų, pamatysite, kad kiekviena korpuso kamera iš esmės yra ankstesnės kameros anglies kopija, tik mažesnė, kai atsekite jas iš išorės į vidų.

Fraktalai taip pat rekursyvus, nepriklausomai nuo masto. Ar kada einate į parduotuvės rūbinę ir atsidursite veidrodžių apsuptyje? Geriau ar blogiau, jūs žiūrite į be galo rekursyvų savęs vaizdą.

Galiausiai, pastaba apie geometrija. Daugelis iš mūsų užaugome mokomi, kad ilgis, plotis ir aukštis yra trys matmenys, ir viskas. Fraktalinė geometrija šią sąvoką kreivė sukuria netaisyklingomis formomis fraktalinis matmuo; fraktalinis formos matmuo yra būdas įvertinti šios formos sudėtingumą.

Dabar imkitės viso to ir galime aiškiai pamatyti, kad a grynas fraktalas yra geometrinė forma, panaši į save begalinių pakartojimų pasikartojančiu modeliu ir begalinės detalės dėka. Paprasta, tiesa? Nesijaudinkite, mes netrukus apžvelgsime visus kūrinius.

Prieš jie buvo fraktalai

Katsushika Hokusai tapyboje panaudojo fraktalinę savimonės sampratą

1800-ųjų pradžioje savo paveiksle „Didžioji banga nuo Kanagavos“ Katsushika Hokusai panaudojo fraktališką panašumo į save koncepciją.

Kai dauguma žmonių galvoja apie fraktalus, jie dažnai galvoja apie garsiausią iš jų - Mandelbrot rinkinį. Pasivadinęs matematiku Benoitu Mandelbrotu, jis tapo praktiškai fraktalų sąvokos sinonimu. Bet tai toli gražu nėra vienintelis miesto fraktalas.

Anksčiau minėjome paparčio, ​​kuris yra vienas iš paprastų ir ribotų gamtos fraktalų. Riboti fraktalai nesibaigia neribotą laiką; jie rodo tik keletą sugretinamų formų pakartojimų. Paprasti ir riboti fraktalai taip pat nėra tikslūs dėl savo panašumo - paparčio lapeliai gali nepriekaištingai imituoti didesnio skiautinio formą. Jūros kriauklės spiralė ir snaigės kristalai yra dar du klasikiniai natūralaus pasaulyje aptinkamo tokio tipo fraktalo pavyzdžiai. Nors jie nėra matematiškai tikslūs, jie vis dar turi fraktališkumą.

Ankstyvieji Afrikos ir Navajo menininkai pastebėjo šių rekursinių modelių grožį ir mėgino juos mėgdžioti daugeliu savo kasdienio gyvenimo aspektų, įskaitant meną ir miesto planavimą [šaltinis: Eglash, Bales]. Kaip ir gamtoje, kiekvieno modelio rekursinių pakartojimų skaičių ribojo medžiagos, su kuria jie dirbo, mastai.

Leonardo da Vinci taip pat matė šį modelį medžių šakose, nes medžių galūnės augo ir suskilo į daugiau šakų [šaltinis: Da Vinci]. 1820 m. Japonų menininkas Katsushika Hokusai sukūrė „Didžiąją bangą nuo Kanagavos“, spalvingą didelės vandenyno bangos perteikimą, kur viršus suskaidomas į mažesnes ir mažesnes (į save panašias) bangas [šaltinis: NOVA].

Galiausiai matematikai taip pat įsitraukė į šį veiksmą. Gastonas Julija sugalvojo idėją panaudoti grįžtamąjį ryšį, kad būtų galima sukurti pasikartojantį modelį XX amžiaus pradžioje. Georgas Cantorius 1880-aisiais eksperimentavo su rekursinių ir į save panašių rinkinių savybėmis, o 1904 m. Helge von Koch paskelbė begalinės kreivės koncepciją, naudodamas maždaug tą pačią techniką, bet su ištisine linija. Ir, žinoma, mes jau minėjome, kad Lewisas Richardsonas tyrinėjo Kocho idėją bandydamas išmatuoti Anglijos pakrantes.

Tačiau šie sudėtingos matematikos tyrinėjimai dažniausiai buvo teoriniai. Tuo metu trūko mašinos, kuri per pagrįstą laiką galėtų atlikti tiek daug matematinių skaičiavimų, kad išsiaiškintų, kur šios idėjos iš tikrųjų vedė. Tobulėjant kompiuterių galiai, atsirado ir matematikų galimybė išbandyti šias teorijas.

Kitame skyriuje apžvelgsime matematiką už fraktalų geometrijos.

Matematika už grožio

Mes manome, kad kalnai ir kiti realiame pasaulyje esantys objektai turi tris dimensijas. Euklido geometrijoje mes priskiriame vertes objekto ilgiui, aukščiui ir pločiui ir pagal šias reikšmes apskaičiuojame atributus, tokius kaip plotas, tūris ir perimetras. Tačiau dauguma objektų nėra vienodi; Pvz., kalnai turi nelygius kraštus. Fraktalo geometrija leidžia tiksliau apibrėžti ir išmatuoti formos sudėtingumą, kiekybiškai įvertinant, koks šiurkštus jos paviršius. Nešakoti to kalno kraštai gali būti išreikšti matematiškai: Įveskite fraktalinį matmenį, kuris pagal apibrėžimą yra didesnis arba lygus objekto Euklidinio (arba topologinio) matmeniui (D => DT).

Gana paprastas būdas tai išmatuoti vadinamas dėžutės skaičiavimo (arba Minkowski-Bouligand Dimension) metodu. Norėdami tai išbandyti, padėkite fraktalą ant tinklelio popieriaus lapo. Kuo didesnis fraktalas ir išsamesnis tinklelio popierius, tuo tikslesnis bus matmenų apskaičiavimas.

D = log N / log (1 / h)

Šioje formulėje D yra matmuo, N yra tinklelio dėžučių, kuriose yra dalis fraktalo dalies, skaičius, ir h yra tinklelio blokų, kuriuos fraktalai užima ant grafiko popieriaus, skaičius [šaltinis: „Fractals Unleashed“]. Tačiau nors šis metodas yra paprastas ir prieinamas, jis ne visada yra pats tiksliausias.

Vienas iš standartinių fraktalų matavimo metodų yra naudoti Hausdorffo matmenį, kuris yra D = log N / log s, kur N yra dalių skaičius, kurį fraktalas pagamina iš kiekvieno segmento, ir s yra kiekvienos naujos dalies dydis, palyginti su pradiniu segmentu. Tai atrodo paprasta, tačiau atsižvelgiant į fraktalą, tai gana greitai gali pasidaryti sudėtinga.

Galite pagaminti begalinę fraktalų įvairovę, tiesiog pakeisdami keletą pradinių lygties sąlygų; čia iškyla chaoso teorija. Iš esmės chaoso teorija skamba kaip kažkas visiškai nenuspėjamo, tačiau fraktalinė geometrija yra skirta rasti tvarką, kuri iš pradžių atrodo chaotiška. Pradėkite skaičiuoti daugybę būdų, kaip galite pakeisti tas pradines lygčių sąlygas, ir greitai suprasite, kodėl yra begalinis skaičius fraktalų.

Vis dėlto jūs nevalysite grindų naudodamiesi „Menger Sponge“, taigi kokie vis dėlto yra naudingi fraktalams?

Garsieji fraktalai ir jų rūšys

Kai kurie fraktalai prasideda pagrindiniu linijos segmentu ar struktūra ir prideda prie jo. Tokiu būdu padaryta drakono kreivė. Kiti yra redukciniai, pradedami kaip vientisa forma ir pakartotinai atimami. Šioje grupėje yra „Sierpinsky trikampis“ ir „Menger Sponge“. Labiau chaotiški fraktalai sudaro trečiąją grupę, sukurtą naudojant gana paprastas formules ir milijonus kartų jas nubrėžus Dekarto tinkleliu ar sudėtinga plokštuma. „Mandelbrot Set“ yra šios grupės roko žvaigždė, tačiau ir „Strange Attractors“ yra gana šaunūs. Visi šie vaizdai yra matematinių formulių išraiška. Jei grafiką pavaizduosite iš fraktalinės lygties sudėtingoje skaičių plokštumoje, jūs taip pat galėsite pasidaryti fraktalo meną.

Praktiniai fraktalai

Po to, kai 1975 m. Mandelbrotas paskelbė savo pagrindinį darbą apie fraktalus, vienas iš pirmųjų praktinių panaudojimo būdų atsirado 1978 m., Kai Loren Carpenter norėjo padaryti keletą kompiuterio sukurtų kalnų. Naudodamas fraktalus, kurie prasidėjo trikampiais, jis sukūrė nuostabiai tikrovišką kalnų grandinę [šaltinis: NOVA].

Dešimtajame dešimtmetyje Nathaną Coheną įkvėpė „Koch Snowflake“ sukurti kompaktiškesnę radijo anteną, naudojant ne daugiau kaip laidą ir replių porą. Šiandien mobiliųjų telefonų antenose naudojami tokie fraktalai kaip „Menger Sponge“, dėžutės ir erdvę užpildantys fraktalai, kaip būdas maksimaliai padidinti priėmimo galią minimalioje erdvėje [šaltinis: Cohen].

Nors mes neturime laiko įsigilinti į visus šiandien naudojamus fraktalų naudojimo atvejus, keletas kitų pavyzdžių yra biologija, medicina, vandens baseinų modeliavimas, geofizika ir meteorologija debesų formavimuisi ir oro srautams [šaltinis: NOVA].

Šis straipsnis skirtas padėti jums pradėti mąstyti apie fraktalų geometriją. Jei turite matematinį požiūrį, galbūt norėsite panagrinėti šį pasaulį dar daugiau, naudodamiesi šaltiniais, išvardytais kitame puslapyje. Mažiau matematiškai linkę skaitytojai gali norėti ištirti begalinį šio neįtikėtino ir sudėtingo įkvėpimo šaltinio meno ir grožio potencialą.

Kaip sukurti savo fraktalą

Paimkite tuščią popieriaus lapą ir nubrėžkite tiesią liniją nuo centro iki apačios. Dabar nubrėžkite dvi linijas, perpus ilgesnes už pirmąją, išeinančią 45 laipsnių kampu į viršų nuo pirmosios eilutės viršaus, suformuodami Y. Padarykite tai dar kartą kiekvienai šakute Y. Tai pirmoji jūsų fraktūros iteracija. Tęskite veiksmus su kiekviena šakute. Trečiąja ar ketvirtąja iteracija jūs suprasite, kodėl fraktalinė geometrija nebuvo sukurta dar iki kompiuterio amžiaus. Sveikiname - jūs ką tik padarėte fraktalinį baldakimą! Sumaišykite, šiek tiek pakeisdami pradines linijas (arba daug) ir pažiūrėkite, kas atsitiks.


Vaizdo Papildas: Jaunimo organizacijos Klaipėdoje. Ką jos veikia mūsų labui?.




Tyrimas


Kas Yra Sudėtinė Vaistinė?
Kas Yra Sudėtinė Vaistinė?

Kas Yra Patentas?
Kas Yra Patentas?

Mokslas Naujienos


U-F-Ne! Nasa Nušauna Spekuliacijas Kosminėje Stotyje
U-F-Ne! Nasa Nušauna Spekuliacijas Kosminėje Stotyje

Albumas: Septyni Senovės Pasaulio Stebuklai
Albumas: Septyni Senovės Pasaulio Stebuklai

Ar Iš Tikrųjų Bet Kokios Kaprizų Dietos Yra Sveikos? Ką Rodo Tyrimai
Ar Iš Tikrųjų Bet Kokios Kaprizų Dietos Yra Sveikos? Ką Rodo Tyrimai

Smegenų Veiklos Skirtumai Gali Nulemti, Koks Protingas Esate
Smegenų Veiklos Skirtumai Gali Nulemti, Koks Protingas Esate

Anot Ibm, Pasaulinės Orų Prognozės Netrukus Gali Tapti Daug Geresnės
Anot Ibm, Pasaulinės Orų Prognozės Netrukus Gali Tapti Daug Geresnės


LT.WordsSideKick.com
Visos Teisės Saugomos!
Dauginti Jokių Medžiagų Leidžiama Tik Prostanovkoy Aktyvią Nuorodą Į Svetainę LT.WordsSideKick.com

© 2005–2020 LT.WordsSideKick.com