Paskalio trikampis yra nesibaigiantis lygiakraštis skaičių trikampis, kuris vadovaujasi taisykle, pagal kurią pridedami du skaičiai aukščiau, kad gautumėte žemiau esantį skaičių. Dvi pusės yra „visos 1“ ir, kadangi trikampis yra begalinis, nėra „apatinės pusės“.
Jis pavadintas Blaise'o Pascalio, XVII amžiaus prancūzų matematiko, kuris trikampį naudojo tikimybių teorijos tyrimuose. Tačiau jis buvo tiriamas tūkstančius metų visame pasaulyje, ypač senovės Indijoje ir viduramžių Kinijoje, taip pat aukso islamo ir renesanso amžiais, kurie prasidėjo Italijoje, prieš pasklidus visoje Europoje.
Nesvarbu, koks šis modelis, jis turi stebėtinų ryšių daugelyje matematikos sričių, įskaitant algebrą, skaičių teoriją, tikimybę, kombinatoriką (skaičiuojamų konfigūracijų matematiką) ir fraktalus. 2013 m. Stulpelyje „Ekspertų balsai“, skirtoje „Gyvasis mokslas“, Niukaslio universitete studijavęs matematikas Michaelas Rose'as aprašė daugelį modelių, paslėptų Paskalio trikampyje. Šiame straipsnyje mes gilinsimės į savybes, aptinkamas aukštojoje matematikoje.
Paskalio trikampis natūraliai iškyla tiriant kombinatoriką. Pvz., Įsivaizduokite, kad iš penkių spalvų žymeklių pakuotės galite pasirinkti tris spalvas. Pasirinkimų spalvų išdėstymas neturi reikšmės renkantis, kurį naudoti plakate, tačiau tai svarbu renkantis po vieną spalvą Alisai, Bobui ir Karoliui. Galimų konfigūracijų skaičius pateikiamas ir apskaičiuojamas taip:
Šis antrasis atvejis yra reikšmingas Paskalio trikampiui, nes reikšmes galima apskaičiuoti taip:
Sukurdami Paskalio trikampį, matome, kad bet kurį skaičių galima sukurti pridedant du skaičius aukščiau. Matematiškai tai išreiškiama nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr - šį santykį per visą istoriją pastebėjo įvairūs matematikos žinovai.
Binominis yra žodis, vartojamas algebra, apytiksliai reiškiantis „du dalykai sudėti“. dvinarė teorema nurodo koeficientų (skaičių, esančių prieš kintamuosius) modelį, kuris atsiranda, kai binomasis pats dauginamas tam tikrą skaičių kartų. Matematiškai tai rašoma kaip (x + y)n. Paskalio trikampis gali būti naudojamas išplėstiniam koeficientų modeliui nustatyti. Žemiau pateikiami keli pirmieji išplėsti polinomai.
n | (x + y)n | Išplėsta polinomas | Paskalio trikampis |
0 | (x + y)0 | 1 | 1 |
1 | (x + y)1 | 1x + 1y | 1,1 |
2 | (x + y)2 | 1x2 + 2xy + 1y2 | 1,2,1 |
3 | (x + y)3 | 1x3 + 3x2y + 3xy2 +1y3 | 1,3,3,1 |
4 | (x + y)4 | 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 +1y4 | 1,4,6,4,1 |
5 | (x + y)5 | 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +1y5 | 1,5,10,10,5,1 |
↓ | ↓ | ↓ | ↓ |
Naudojant sumavimo žymėjimą, dvinarė teorema gali būti glaustai parašyta taip:
Tikimybiniam procesui, turinčiam du rezultatus (pvz., Monetos apversti), rezultatų seką reglamentuoja tai, ką matematikai ir statistikai vadina dvinaris skirstinys. Tai taip pat susiję su Paskalio trikampiu.
Pavyzdžiui, trims monetų atlenkimams yra 2 × 2 × 2 = 8 galimos galvų / uodegų sekos. Suskirstant į grupes „kiek galvų (3, 2, 1 ar 0)“, kiekviena grupė užpildoma atitinkamai 1, 3, 3 ir 1 sekomis. Atkreipkite dėmesį, kaip tai sutampa su Trečiąja Paskalio trikampio eilute. Įrodyta, kad ši tendencija galioja visiems monetų atlenkimų skaičiams ir visoms trikampio eilutėms.
Moneta atlenkiama | Galimos galvų (H) arba uodegos (T) sekos | Paskalio trikampis |
1 | H T | 1 1 |
2 | HH HT TH TT | 1 2 1 |
3 | HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT | 1 3 3 1 |
4 | HHHH HHHT HHTH HTHH THHH HHTT HTHT HTTH THTH THTH THTHH HTTT THTT TTHT TTTH TTTT | 1 4 6 4 1 |
↓ | ↓ | ↓ |
Pasak George'o E.P. „Eksperimentuotojų statistikos“ (Wiley, 1978) statistikos langelio žymėjimas dideliu skaičiumi monetų (virš maždaug 20) yra dviejų dalių binominis pasiskirstymas, pagrįstas normalaus pasiskirstymo apytikslis vertinimas, esminis „varpo kreivės“ pasiskirstymas, naudojamas kaip pagrindas Statistinė analizė. Šis suderinimas žymiai supaprastina daugelio reiškinių statistinę analizę.
Fizinį šio suderinimo pavyzdį galima pamatyti pupelių mašinoje - įrenginyje, kuris atsitiktine tvarka suskirsto rutulius į šiukšliadėžes pagal tai, kaip jie patenka į trikampį kaiščių išdėstymą. Kadangi rutulys, smogiantis į kaištį, turi vienodą tikimybę nukristi į kairę ar dešinę, rutulio tikimybė nusileisti į kairę (arba į dešinę) pravažiavus tam tikrą skaičių vinių eilučių tiksliai sutampa su tikimybe gauti visus galvos (arba uodegos) iš to paties skaičiaus monetų atlenkimų. Po pakankamo skaičiaus rutulių surinko praeityje trikampis su n kaiščių eilių, rutulių skaičiaus santykis kiekvienoje šiukšliadėžėje greičiausiai sutampa su ntūkst Paskalio trikampio eilutė.
Paskalio trikampis taip pat turi reikšmingų ryšių su skaičių teorija. Ryškiausias ryšys yra su Fibonačio seka. Sudėjus Paskalio trikampio skaičius išilgai tam tikros įstrižainės, gaunami sekos skaičiai.
Dažant Paskalio trikampio skaičius pagal jų padalijamumą, gaunama įdomi fraktalų įvairovė. Visų pirma, spalvinant visus skaičius, dalijamus iš dviejų (visus lyginius skaičius), gaunamas Sierpiński trikampis. Šie modeliai, pasak Wolframo MathWorldo, italų mene atsirado nuo XIII amžiaus.
Papildomi resursai
Norėdami sužinoti daugiau apie Paskalio trikampį, eikite į:
Paskalio trikampis, paprastas, bet sudėtingas matematinis konstruktas, slepia keletą stebinančių savybių, susijusių su skaičių teorija ir tikimybe.