Paskalio Trikampio Savybės

{h1}

Paskalio trikampis, paprastas, bet sudėtingas matematinis konstruktas, slepia keletą stebinančių savybių, susijusių su skaičių teorija ir tikimybe.

Paskalio trikampis yra nesibaigiantis lygiakraštis skaičių trikampis, kuris vadovaujasi taisykle, pagal kurią pridedami du skaičiai aukščiau, kad gautumėte žemiau esantį skaičių. Dvi pusės yra „visos 1“ ir, kadangi trikampis yra begalinis, nėra „apatinės pusės“.

Jis pavadintas Blaise'o Pascalio, XVII amžiaus prancūzų matematiko, kuris trikampį naudojo tikimybių teorijos tyrimuose. Tačiau jis buvo tiriamas tūkstančius metų visame pasaulyje, ypač senovės Indijoje ir viduramžių Kinijoje, taip pat aukso islamo ir renesanso amžiais, kurie prasidėjo Italijoje, prieš pasklidus visoje Europoje.

Nesvarbu, koks šis modelis, jis turi stebėtinų ryšių daugelyje matematikos sričių, įskaitant algebrą, skaičių teoriją, tikimybę, kombinatoriką (skaičiuojamų konfigūracijų matematiką) ir fraktalus. 2013 m. Stulpelyje „Ekspertų balsai“, skirtoje „Gyvasis mokslas“, Niukaslio universitete studijavęs matematikas Michaelas Rose'as aprašė daugelį modelių, paslėptų Paskalio trikampyje. Šiame straipsnyje mes gilinsimės į savybes, aptinkamas aukštojoje matematikoje.

Deriniai

Paskalio trikampis natūraliai iškyla tiriant kombinatoriką. Pvz., Įsivaizduokite, kad iš penkių spalvų žymeklių pakuotės galite pasirinkti tris spalvas. Pasirinkimų spalvų išdėstymas neturi reikšmės renkantis, kurį naudoti plakate, tačiau tai svarbu renkantis po vieną spalvą Alisai, Bobui ir Karoliui. Galimų konfigūracijų skaičius pateikiamas ir apskaičiuojamas taip:

  • Kiekviena po vieną spalvą Alisai, Bobui ir Karoliui: Panašus atvejis, kai reikia užsisakyti daro materija vadinama a permutacija. Atvejui su penkiais būdais, kai bus pasirinkti ir užsakyti trys, šis galimų permutacijų skaičius išreiškiamas kaip 5P3 ir apskaičiuojamas kaip 5! / (5-3) !. Operatorius "!" vadinamas koeficientu, reiškiančiu visus mažesnius sveikus skaičius dauginti žemyn per vieną (pvz., 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1). 5P3 supaprastina iki 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60
  • Trys spalvos viename plakate: toks atvejis, kai užsakoma neturi materija vadinama a derinys. Galimų derinių skaičius visada bus galimų permutacijų skaičiaus dalis. Bylai su penkiais būdais, kai bus pasirinkti trys, tai išreiškiama taip: 5C3 ir apskaičiuojamas kaip 5! / [3! (5-3)!] = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10

Šis antrasis atvejis yra reikšmingas Paskalio trikampiui, nes reikšmes galima apskaičiuoti taip:

Paskalio trikampio skaičiai sutampa su galimų derinių skaičiumi (nCr), kai reikia pasirinkti objektų skaičių r iš n galimų variantų.

Paskalio trikampio skaičiai sutampa su galimų derinių skaičiumi (nCr), kai reikia pasirinkti objektų skaičių r iš n galimų variantų.

Kreditas: Robertas J. Coolmanas

Sukurdami Paskalio trikampį, matome, kad bet kurį skaičių galima sukurti pridedant du skaičius aukščiau. Matematiškai tai išreiškiama nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr - šį santykį per visą istoriją pastebėjo įvairūs matematikos žinovai.

Binominė teorema

Binominis yra žodis, vartojamas algebra, apytiksliai reiškiantis „du dalykai sudėti“. dvinarė teorema nurodo koeficientų (skaičių, esančių prieš kintamuosius) modelį, kuris atsiranda, kai binomasis pats dauginamas tam tikrą skaičių kartų. Matematiškai tai rašoma kaip (x + y)n. Paskalio trikampis gali būti naudojamas išplėstiniam koeficientų modeliui nustatyti. Žemiau pateikiami keli pirmieji išplėsti polinomai.

n(x + y)nIšplėsta polinomasPaskalio trikampis
0(x + y)011
1(x + y)11x + 1y1,1
2(x + y)21x2 + 2xy + 1y21,2,1
3(x + y)31x3 + 3x2y + 3xy2 +1y31,3,3,1
4(x + y)41x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 +1y41,4,6,4,1
5(x + y)51x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +1y51,5,10,10,5,1

Naudojant sumavimo žymėjimą, dvinarė teorema gali būti glaustai parašyta taip:

Binominė teorema surašyta apibendrinant.

Binominė teorema surašyta apibendrinant.

Kreditas: Robertas J. Coolmanas

Binominis pasiskirstymas

Tikimybiniam procesui, turinčiam du rezultatus (pvz., Monetos apversti), rezultatų seką reglamentuoja tai, ką matematikai ir statistikai vadina dvinaris skirstinys. Tai taip pat susiję su Paskalio trikampiu.

Pavyzdžiui, trims monetų atlenkimams yra 2 × 2 × 2 = 8 galimos galvų / uodegų sekos. Suskirstant į grupes „kiek galvų (3, 2, 1 ar 0)“, kiekviena grupė užpildoma atitinkamai 1, 3, 3 ir 1 sekomis. Atkreipkite dėmesį, kaip tai sutampa su Trečiąja Paskalio trikampio eilute. Įrodyta, kad ši tendencija galioja visiems monetų atlenkimų skaičiams ir visoms trikampio eilutėms.

Moneta atlenkiamaGalimos galvų (H) arba uodegos (T) sekosPaskalio trikampis
1H
T
1
1
2HH
HT TH
TT
1
2
1
3HHH
HHT HTH THH
HTT THT TTH
TTT
1
3
3
1
4HHHH
HHHT HHTH HTHH THHH
HHTT HTHT HTTH THTH THTH THTHH
HTTT THTT TTHT TTTH
TTTT
1
4
6
4
1

Pasak George'o E.P. „Eksperimentuotojų statistikos“ (Wiley, 1978) statistikos langelio žymėjimas dideliu skaičiumi monetų (virš maždaug 20) yra dviejų dalių binominis pasiskirstymas, pagrįstas normalaus pasiskirstymo apytikslis vertinimas, esminis „varpo kreivės“ pasiskirstymas, naudojamas kaip pagrindas Statistinė analizė. Šis suderinimas žymiai supaprastina daugelio reiškinių statistinę analizę.

Fizinį šio suderinimo pavyzdį galima pamatyti pupelių mašinoje - įrenginyje, kuris atsitiktine tvarka suskirsto rutulius į šiukšliadėžes pagal tai, kaip jie patenka į trikampį kaiščių išdėstymą. Kadangi rutulys, smogiantis į kaištį, turi vienodą tikimybę nukristi į kairę ar dešinę, rutulio tikimybė nusileisti į kairę (arba į dešinę) pravažiavus tam tikrą skaičių vinių eilučių tiksliai sutampa su tikimybe gauti visus galvos (arba uodegos) iš to paties skaičiaus monetų atlenkimų. Po pakankamo skaičiaus rutulių surinko praeityje trikampis su n kaiščių eilių, rutulių skaičiaus santykis kiekvienoje šiukšliadėžėje greičiausiai sutampa su ntūkst Paskalio trikampio eilutė.

Fibonačio seka

Paskalio trikampis taip pat turi reikšmingų ryšių su skaičių teorija. Ryškiausias ryšys yra su Fibonačio seka. Sudėjus Paskalio trikampio skaičius išilgai tam tikros įstrižainės, gaunami sekos skaičiai.

Sumos išilgai tam tikros Paskalio trikampio įstrižainės sukuria Fibonačio seką.

Sumos išilgai tam tikros Paskalio trikampio įstrižainės sukuria Fibonačio seką.

Kreditas: Robertas J. Coolmanas

Fraktalai

Dažant Paskalio trikampio skaičius pagal jų padalijamumą, gaunama įdomi fraktalų įvairovė. Visų pirma, spalvinant visus skaičius, dalijamus iš dviejų (visus lyginius skaičius), gaunamas Sierpiński trikampis. Šie modeliai, pasak Wolframo MathWorldo, italų mene atsirado nuo XIII amžiaus.

Paskalio trikampį dažant skaičiais, dalijamais iš tam tikro kiekio, gaunamas fraktalas. Kaip ir Paskalio trikampis, šie modeliai tęsiasi iki begalybės.

Paskalio trikampį dažant skaičiais, dalijamais iš tam tikro kiekio, gaunamas fraktalas. Kaip ir Paskalio trikampis, šie modeliai tęsiasi iki begalybės.

Kreditas: Robertas J. Coolmanas

Papildomi resursai

Norėdami sužinoti daugiau apie Paskalio trikampį, eikite į:

  • Matematika yra smagi
  • „Wolfram MathWorld“
  • Amerikos matematikų draugija


Vaizdo Papildas: Staciakampio gretasienio turis.




Tyrimas


Roboto Beprotybė: Tikro Dirbtinio Intelekto Kūrimas
Roboto Beprotybė: Tikro Dirbtinio Intelekto Kūrimas

Kaip Veikia Požeminė Kasyba
Kaip Veikia Požeminė Kasyba

Mokslas Naujienos


Proto Kontrolės Parazitai Taip Pat Užgrobia Imuninę Sistemą
Proto Kontrolės Parazitai Taip Pat Užgrobia Imuninę Sistemą

Lizdų Lėlių Piramidė: Chichen Itza Viduje Rasta Senovės Majų Struktūra
Lizdų Lėlių Piramidė: Chichen Itza Viduje Rasta Senovės Majų Struktūra

Teismas Nepaskelbs Šimpanzės Asmeniu
Teismas Nepaskelbs Šimpanzės Asmeniu

Nepriekaištingas Lytinis Potraukis Gali Reikšti Mirtiną Pasiutligę
Nepriekaištingas Lytinis Potraukis Gali Reikšti Mirtiną Pasiutligę

Parduotuvė 'Til You Drop? 7 Rinkodaros Triukų Mažmenininkai Naudojasi
Parduotuvė 'Til You Drop? 7 Rinkodaros Triukų Mažmenininkai Naudojasi


LT.WordsSideKick.com
Visos Teisės Saugomos!
Dauginti Jokių Medžiagų Leidžiama Tik Prostanovkoy Aktyvią Nuorodą Į Svetainę LT.WordsSideKick.com

© 2005–2020 LT.WordsSideKick.com